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高中数学必修一知识点总结(全)

发布日期:2021-08-20



第一章集合与函数概念

课时一:集合有关概念

1.集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

2.一般的研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,简称为集。

3.集合的中元素的三个特性:
(1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。
例:世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……
(2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。
例:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合
例:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示:{…} 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
1)列举法:将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}
2)描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
②Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。

4、集合的分类:
(1)有限集:含有有限个元素的集合
(2)无限集:含有无限个元素的集合
(3)空集:不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

5、元素与集合的关系:
(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a∈A
(2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a A
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集)记作:N
正整数集N*或N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R

课时二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集
(1)定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集。记作:A⊆B(或B⊇A)
注意:A⊆B有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A

2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即:
①任何一个集合是它本身的子集。A⊆A
②真子集:如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集,记作A≠B(或B≠A)
或若集合A⊆B,存在x∈B且x A,则称集合A是集合B的真子集。
③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C
④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集

课时三、集合的运算



课时四:函数的有关概念

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.
(1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
(2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

2.函数的三要素:定义域、值域、对应法则

3.函数的表示方法:
(1)解析法:明确函数的定义域
(2)图想像:确定函数图像是否连线,函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。
(3)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特征。

4、函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .
(2) 画法
A、描点法:B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换。
(3)函数图像变换的特点:
1)函数y=f(x) 关于X轴对称y=-f(x)
2)函数y=f(x) 关于Y轴对称y=f(-x)
3)函数y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x)

课时五:函数的解析表达式,及函数定义域的求法

1、函数解析式子的求法
(1)、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)、求函数的解析式的主要方法有:
1)代入法:
2)待定系数法:
3)换元法:
4)拼凑法:

2.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

3、相同函数的判断方法:
①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);
②定义域一致(两点必须同时具备)

4、区间的概念:
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示

课时六:

1.值域: 先考虑其定义域
(1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;
(2)反表示法:针对分式的类型,把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式,由X的范围类似求Y的范围。
(3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的值域,注意定义域的范围。
(4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类型。

课时七:

1.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
(4)常用的分段函数
1)取整函数:
2)符号函数:
3)含绝对值的函数:

2.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)→B(象)”
对于映射f:A→B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
注意:映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射,而映射不一定的函数

课时八函数的单调性(局部性质)及最值

1、增减函数
(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
(2)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单调不减两种

2、图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

3、函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
(1)任取x1,x2∈D,且x1<x2;
(2)作差f(x1)-f(x2);
(3)变形(通常是因式分解和配方);
(4)定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
(5)下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

课时九:函数的奇偶性(整体性质)

(1)、偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2)、奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
(1)首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则是非奇非偶的函数;若对称,则进行下面判断;
(2)确定f(-x)与f(x)的关系;
(3)作出相应结论:
若f(-x) = f(x) 或f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x) 或f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
(4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性
1)在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数;
奇函数的加减仍为奇函数;
奇数个奇函数的乘除认为奇函数;
偶数个奇函数的乘除为偶函数;
一奇一偶的乘积是奇函数;
2)复合函数的奇偶性:一个为偶就为偶,两个为奇才为奇。
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,
(1)再根据定义判定;
(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定 .

课时十、函数最值及性质的应用

1、函数的最值
(1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
(2)利用图象求函数的最大(小)值
(3)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

2、函数的奇偶性与单调性
奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;
偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。

3、判断含糊单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区别在于作差法是与0作比较,作商法是与1作比较。

4、绝对值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值。

5、在判断函数的奇偶性时候,若已知是奇函数可以直接用f(0)=0,但是f(0)=0并不一定可以判断函数为奇函数。(高一阶段可以利用奇函数f(0)=0)。

课时十四:

1、 指数与指数幂的运算:
复习初中整数指数幂的运算性质:
a m *a n =a m+n
(a m )n =a mn
(a*b)n =a n b n

2、根式的概念:一般地,若a x n =a,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N *. 当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数。此时,a 的n 次方根用符号表示。
当n 为偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数。此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示,负的n 的次方根用符号 表示。正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 (a>0)。
注意:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。
当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 式子 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数。

3、 分数指数幂


4、 有理数指数米的运算性质


5、无理数指数幂
一般的,无理数指数幂aa(a>0,a是无理数)是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。

课时十五:指数函数的性质及其特点(1)

1、指数函数的概念:一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.为什么?

2、在同以坐标平面内画出下列函数的图像:


课时十六:指数函数的性质及其特点(1)

指数函数的图象和性质



注意:利用函数的单调性,结合图像还可以看出:
(1)在[a,b]上,值域是[ f(a),f(b)] 或 [f(b),f(a)];
(2)若x ≠ 0,则f(x) ≠ 1 ; f(x) 取遍所有正数当且仅当x∈R ;
(3)对于指数函数f(x) = ax(a > 0且a ≠ 1),总有f(1) = a;
(4)当a>1时,若X1<X2 ,则有f(X1)<f(X2)。

二、对数函数

(一)对数



(二)对数的运算性质



(二)对数函数



(三)冥函数



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